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Factor Potential 函数

Status: Current canonical（与 gaia/engine/bp/ v2 实现及 theory 对齐）

本文档定义 gaia.engine.bp 中每种 FactorType 的势函数语义。理论依据：../theory/06-factor-graphs.md。IR 算子与 lowering 设计：Gaia IR lowering。

势函数对因子所连变量的联合赋值返回非负权重；无需归一化，仅比值有意义。所有经验概率遵守 Cromwell 规则（CROMWELL_EPS = 1e-3）。

Factor 结构（variables + conclusion）

每个因子有：

  • variables：输入变量 ID 列表（有序；对 CONDITIONAL，顺序决定 CPT 行索引）。
  • conclusion：输出变量 ID（与 variables 不交）。
  • 参数化因子额外携带：SOFT_ENTAILMENT 使用 p1, p2；CONDITIONAL 使用 cpt（长度 2^k）。

确定性算子（strict delta）

真值表一致时 ψ = 1.0，否则 ψ = 0.0。Cromwell clamp 用于 unary evidence / priors 和 soft 概率参数；确定性 operator potential 本身保持硬 0/1。

FactorType 语义 理论参照
IMPLICATION variables=[A, B], conclusion=H：H=1 当 A→B 成立（禁止 A=1 且 B=0）；H=0 当违反 06-factor-graphs §3.3
NEGATION variables=[A], conclusion=N：N = ¬A §3.1
CONJUNCTION variables=[A₁,…,Aₖ], conclusion=M：M = ∧ Aᵢ §3.2
DISJUNCTION variables=[A₁,…,Aₖ], conclusion=D：D = ∨ Aᵢ §3.6 补充
EQUIVALENCE variables=[A,B], conclusion=H：H = 1 当且仅当 A=B §3.4
CONTRADICTION variables=[A,B], conclusion=H：H = 0 当且仅当 A=B=1；否则 H=1 §3.5
COMPLEMENT variables=[A,B], conclusion=H：H = XOR(A,B) §3.1 / §3.6

所有确定性算子在因子图中保留专门的 FactorType。Conclusion 的先验决定其角色：relation operator（EQUIVALENCE / CONTRADICTION / COMPLEMENT / IMPLICATION）的 conclusion 是断言（通过 add_evidence(1) 激活约束）；expression operator（NEGATION / CONJUNCTION / DISJUNCTION）的 conclusion 是计算输出（$\pi = 0.5$，belief 由 variables 决定）。详见 formal-strategy-lowering.md §2。

Note — IMPLICATION 在 connective formula 下的特例： 默认情况下 lower_local_graph 把顶层 Operator(implication, ...) 视作 relation 断言，按 §2 的 add_evidence(1) 路径激活；但当 implication 是某个 claim formula 内部连接词的下沉产物（compiler 写入 metadata["formula_lowering"] == "connective"）时，IMPLICATION 保留为表达式形式不再 pin conclusion——这避免了 formula 内部连接词与外部 relation assertion 双重激活同一个 helper claim。源码：gaia/engine/bp/lowering.py::_operator_asserts_relation 与 _lower_operators。

SOFT_ENTAILMENT（软蕴含 ↝）

variables=[M]（单前提），conclusion=C，参数 p1, p2（须满足 p1 + p2 > 1）。

M C ψ
1 1 p1
1 0 1−p1
0 0 p2
0 1 1−p2

理论参照：06-factor-graphs §3.7。

  • p2 = 0.5：前提为假时对 C 无信息（MaxEnt 默认；对应原「沉默」行为）。
  • p2 = 1 − ε：前提为假时强烈压低 C=1（noisy-AND + leak 的 ↝ 部分）。

多前提 noisy_and 分解

多前提 noisy_and 在 lowering 中分解为 CONJUNCTION(A₁,…,Aₖ → M) 再 SOFT_ENTAILMENT(M → C)（理论 §3.8）。k=1 时省略 CONJUNCTION。

四个弱三段论

SOFT_ENTAILMENT 在 p1 + p2 > 1 时满足 07-belief-propagation.md §2.3 的全部四个弱三段论：

  • C1（modus ponens 方向）：增强 M 的信念提升 C。
  • C2（弱确认）：C 为真时提升 M 的信念。
  • C3（modus tollens 方向）：C 为假时降低 M 的信念。
  • C4（弱否认）：M 为假时降低 C 的信念。当 p2 > 0.5 时 C4 生效；p2 = 0.5 时 C4 保持中性（沉默）。

CONDITIONAL（IR infer 完整 CPT）

variables=[A₁,…,Aₖ], conclusion=C, cpt 长度 2^k。

  • 行索引：idx = Σᵢ assignment[Aᵢ] · 2^i（与 variables 顺序一致）。
  • ψ = cpt[idx] 当 C=1，否则 ψ = 1 − cpt[idx]。

IR 参照：02-gaia-ir §3.4 infer 类型。

可选 degraded lowering：用全为真/全为假两行压缩为 ∧ + ↝（信息损失）；默认使用 CONDITIONAL 保留完整 CPT。

与旧五类因子的迁移对照

旧 FactorType 新表示
ENTAILMENT（沉默，单参数 p） SOFT_ENTAILMENT，p1=p, p2=0.5
INDUCTION / ABDUCTION（noisy-AND） CONJUNCTION + SOFT_ENTAILMENT，p1=p, p2=1−ε
CONTRADICTION（relation_var） CONTRADICTION，variables=[A,B], conclusion=R（原 relation_var 即 conclusion）
EQUIVALENCE（relation_var） EQUIVALENCE，同上

参考